Volumenintegral

Ein Volumenintegral oder Dreifachintegral ist in der Mathematik ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung, der vor allem in der Physik Anwendung findet. Es erweitert das Oberflächenintegral auf die Integration über ein beliebiges dreidimensionales Integrationsgebiet, wobei eine Funktion ${\displaystyle f({\vec {r}})}$ dreimal hintereinander integriert wird, jeweils über eine Koordinate eines dreidimensionalen Raumes. Dabei muss es sich jedoch nicht notwendigerweise um ein Volumen eines geometrischen Körpers handeln. Zur vereinfachten Darstellung wird oft nur ein einziges Integralzeichen geschrieben und die Volumenintegration lediglich durch das Volumenelement ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} V}$ angedeutet:

${\displaystyle \iiint _{V}f({\vec {r}})\mathrm {\,} \mathrm {d} ^{3}r=\displaystyle \int _{V}f({\vec {r}})\,\mathrm {d} V}$,

wobei die zu integrierende Funktion zumindest von drei Variablen ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}$ für eine (kartesische) Beschreibung im dreidimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ abhängt, es sind aber auch höherdimensionale Räume möglich. Beachte, dass ${\displaystyle V}$ hier in zwei Bedeutungen auftritt, einmal im Volumenelement ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ und einmal als Bezeichner für das Volumen, über das integriert wird, das Integrationsgebiet.